Material de consulta — Eje Geometría

Preparación Admisión 2027 · Colegio Champagnat · Primero Medio

Apunte de referencia: cuando surja una duda al ejercitar, busca aquí el tema, lee la explicación y el ejemplo resuelto, y vuelve al ejercicio. No es una guía de ejercicios.

Contenido: 1. El plano cartesiano 2. Teorema de Pitágoras 3. Traslaciones con vectores 4. Rotaciones respecto al origen 5. Composición de transformaciones

1) El plano cartesiano

(Base del temario “Representación en el plano cartesiano”: aquí viven los vectores y las rotaciones)

La idea central

El plano cartesiano son dos rectas numéricas cruzadas en ángulo recto:

El eje X (horizontal, de las abscisas): positivo a la derecha, negativo a la izquierda.
El eje Y (vertical, de las ordenadas): positivo hacia arriba, negativo hacia abajo.
Se cortan en el origen O = (0, 0).

Cada punto del plano se nombra con un par ordenado (x, y): primero cuánto se avanza en horizontal, después cuánto en vertical. El orden importa: (2, 5) y (5, 2) son puntos distintos.

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario:

              Y
      II      │      I
   (−, +)     │    (+, +)
  ────────────┼────────────  X
   (−, −)     │    (+, −)
      III     │      IV

Saber en qué cuadrante cae un punto es un chequeo rápido de errores: (−3, 4) debe quedar arriba a la izquierda (cuadrante II); si tu dibujo lo muestra en otra parte, hay un signo perdido.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (ubicar). Ubicar A = (3, 2) y B = (−2, −4).

A: desde el origen, 3 a la derecha y 2 hacia arriba → cuadrante I.
B: 2 a la izquierda y 4 hacia abajo → cuadrante III.

Ejemplo 2 (leer signos). ¿En qué cuadrante está el punto (−5, 1)? ¿Y (0, −3)?

(−5, 1): x negativa, y positiva → cuadrante II.
(0, −3): x = 0, así que no está en ningún cuadrante — está sobre el eje Y, 3 unidades bajo el origen. Los puntos con una coordenada 0 viven en los ejes.

Errores frecuentes - Invertir el orden del par: (x, y) siempre — primero horizontal, después vertical. (2, 5) no es lo mismo que (5, 2). - Confundir los signos de los cuadrantes: dibuja la cruz y anota los signos antes de ubicar puntos, como en el esquema de arriba. - Contar mal desde el origen: cada movimiento parte de (0,0), no del punto anterior que hayas dibujado.

Se ejercita en: Guía A (Eje 3), Guía J (todas las figuras están sobre plano cartesiano), Ensayo B (Eje Geometría).

2) Teorema de Pitágoras

(Temario: “Aplicaciones en triángulos rectángulos y en la resolución de problemas”)

El enunciado

En todo triángulo rectángulo (con un ángulo de 90°):

Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (a y b).
El lado opuesto al ángulo recto —siempre el más largo— se llama hipotenusa (c).

El Teorema de Pitágoras dice:

a² + b² = c²

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.”

Por qué funciona

El teorema habla de áreas: si sobre cada lado del triángulo se construye un cuadrado, el área del cuadrado grande (sobre la hipotenusa) es exactamente la suma de las áreas de los dos cuadrados sobre los catetos.

                 ┌─────────┐
                 │  c²=25  │
      ┌────┐    ╱│         │
      │ a² │ c ╱ │         │
      │ =9 │  ╱  └─────────┘
      └────┴─╱
      a=3   │╱
      ┌─────┤ b=4
      │ b²  │
      │ =16 │
      └─────┘        9 + 16 = 25 ✓

Con catetos 3 y 4: los cuadrados pequeños tienen áreas 9 y 16, que suman 25 — exactamente el cuadrado de la hipotenusa 5.

Los dos usos del teorema

Uso 1 — Buscar la hipotenusa (se SUMA):

c² = a² + b² → c = √(a² + b²)

Uso 2 — Buscar un cateto (se RESTA — el “uso trampa”):

a² = c² − b² → a = √(c² − b²)

Regla para no equivocarse: la hipotenusa es el lado mayor, así que su cuadrado debe ser el más grande. Si buscas un cateto, al cuadrado de la hipotenusa se le resta el cuadrado del otro cateto. Si al resolver obtienes un cateto más largo que la hipotenusa, sumaste donde debías restar.

Uso 3 — Verificar si un triángulo es rectángulo: un triángulo de lados a, b, c (con c el mayor) es rectángulo si y solo si a² + b² = c². Lados 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 = 13² ✓, es rectángulo. Lados 4, 5, 6: 16 + 25 = 41 ≠ 36, no lo es.

Tríos pitagóricos

Son tríos de números enteros que cumplen el teorema. Reconocerlos ahorra tiempo en la prueba:

Trío base	Multiplicado ×2	Multiplicado ×3
3, 4, 5	6, 8, 10	9, 12, 15
5, 12, 13	10, 24, 26	—
8, 15, 17	—	—
7, 24, 25	—	—

Todo múltiplo de un trío pitagórico también es pitagórico. Si en un problema los catetos son 6 y 8, no hace falta calcular: la hipotenusa es 10.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (hipotenusa). Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. Calcular la hipotenusa.

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
c = √100 = 10 cm. (Es el trío 3-4-5 multiplicado por 2.)

Ejemplo 2 (cateto — se resta). La hipotenusa mide 13 m y un cateto mide 5 m. Calcular el otro cateto.

b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
b = √144 = 12 m.
Chequeo de sensatez: 12 < 13, el cateto es menor que la hipotenusa ✓.

Ejemplo 3 (problema contextualizado, nivel examen). Una escalera de 5 m de largo se apoya en una pared. Su base queda a 3 m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

Dibuja el triángulo: la escalera es la hipotenusa (5 m), la distancia al muro es un cateto (3 m), la altura buscada es el otro cateto.
h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
h = √16 = 4 m.

Ejemplo 4 (con raíz no exacta). Los catetos miden 5 cm y 7 cm. ¿Entre qué enteros está la hipotenusa?

c² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74 → c = √74.
64 < 74 < 81, así que 8 < √74 < 9: la hipotenusa mide entre 8 y 9 cm (≈ 8,6 cm). Aquí se conecta con la estimación de raíces del apunte de Números.

Errores frecuentes - Sumar cuando se busca un cateto: es EL error de este tema (el ensayo lo usa como distractor). Si el dato es la hipotenusa, se RESTA: cateto² = hipotenusa² − cateto². Verifica siempre que la hipotenusa resulte ser el lado mayor. - Olvidar la raíz final: c² = 100 no es la respuesta; la respuesta es c = 10. El teorema entrega el CUADRADO del lado. - Confundir cuál lado es la hipotenusa en el dibujo: es siempre el lado opuesto al ángulo recto (el que “no toca” la esquina cuadrada). En problemas verbales: la escalera apoyada, la diagonal, la distancia directa suelen ser la hipotenusa. - Aplicar el teorema a triángulos no rectángulos: solo vale si hay un ángulo de 90°. Si el problema no lo garantiza (dibujo con esquina marcada o texto que lo diga), Pitágoras no se puede usar. - Sumar los lados en vez de sus cuadrados: 3 + 4 ≠ 5… ¡pero 9 + 16 = 25! El teorema relaciona áreas, no longitudes.

Se ejercita en: Guía A (Eje 3, hipotenusa y cateto), Guía J (demostración visual, “uso trampa”, problemas de escalera/poste/barco, verificación de triángulo rectángulo), Ensayo B (Eje Geometría, con el distractor de sumar en vez de restar).

3) Traslaciones con vectores

(Temario: “Traslación de figuras a través de vectores” y “Representación en el plano cartesiano”)

La idea central

Una traslación desliza una figura por el plano sin girarla ni deformarla: la figura resultante (la imagen) es idéntica a la original, solo que en otra posición. Es una transformación isométrica: conserva las medidas (“iso” = igual, “metría” = medida).

El deslizamiento se describe con un vector v = (a, b):

a: cuánto se mueve en horizontal (positivo → derecha, negativo → izquierda).
b: cuánto se mueve en vertical (positivo → arriba, negativo → abajo).

Regla coordenada a coordenada: cada punto (x, y) se transforma en

(x, y) → (x + a, y + b)

Es decir: el vector se SUMA a cada vértice de la figura, uno por uno. Todos los puntos se mueven igual — por eso la figura no se deforma.

Ejemplo con v = (4, 1):

  y                        B'
  │        B      ────→  ╱ ╲
  │      ╱ ╲            ╱   ╲
  │     A───C         A'─────C'
  └────────────────────────────── x
        cada vértice: +4 en x, +1 en y

Cómo encontrar el vector si ya conoces el movimiento

Si un punto P = (x, y) llegó a P’ = (x’, y’), el vector es la resta de coordenadas:

v = (x’ − x, y’ − y)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (aplicar el vector). Trasladar el punto A = (2, −1) con el vector v = (3, 4).

Sumar coordenada a coordenada: A’ = (2 + 3, −1 + 4).
A’ = (5, 3).

Ejemplo 2 (figura completa). El triángulo de vértices A = (1, 1), B = (4, 1), C = (2, 3) se traslada con v = (−3, 2). Encontrar los vértices de la imagen.

A’ = (1 − 3, 1 + 2) = (−2, 3).
B’ = (4 − 3, 1 + 2) = (1, 3).
C’ = (2 − 3, 3 + 2) = (−1, 5).
Imagen: A’(−2, 3), B’(1, 3), C’(−1, 5). Chequeo: el lado AB medía 3 unidades (de x=1 a x=4); A’B’ también mide 3 (de x=−2 a x=1) ✓ — la traslación conserva las medidas.

Ejemplo 3 (encontrar el vector, nivel examen). Una traslación llevó el punto P = (−2, 5) al punto P’ = (3, 1). ¿Qué vector se usó?

v = (x’ − x, y’ − y) = (3 − (−2), 1 − 5).
v = (3 + 2, −4) = (5, −4): cinco a la derecha y cuatro hacia abajo.
Comprobación: (−2 + 5, 5 − 4) = (3, 1) ✓.

Errores frecuentes - Restar el vector en vez de sumarlo: la traslación es (x + a, y + b). La resta se usa solo para RECUPERAR el vector cuando ya se conocen punto inicial y final. - Confundir el orden de las componentes: en v = (3, 4), el 3 es horizontal y el 4 vertical — igual que en los pares ordenados. - Errores de signo con componentes negativas: v = (−3, 2) mueve a la IZQUIERDA y arriba. Traduce siempre: signo de a → derecha/izquierda, signo de b → arriba/abajo. - Trasladar solo algunos vértices: el vector se aplica a TODOS los vértices de la figura; si uno queda sin mover, la figura se deforma (y una traslación jamás deforma).

Se ejercita en: Guía A (Eje 3, vectores y traslación), Guía J (regla coordenada a coordenada con gráfico), Ensayo B (Eje Geometría).

4) Rotaciones respecto al origen

(Temario: “Rotación de figuras en el plano cartesiano”)

La idea central

Una rotación gira una figura alrededor de un punto fijo (el centro de rotación) en un ángulo determinado. Como la traslación, es isométrica: la figura no cambia de forma ni tamaño, solo de orientación y posición.

En este nivel las rotaciones son con centro en el origen (0, 0) y en ángulos de 90°, 180° y 270°, en sentido antihorario (el sentido contrario al reloj, que es el sentido positivo en matemática; si el ejercicio pide sentido horario, se indica explícitamente).

Las reglas de coordenadas

Rotación (antihorario, centro O)	Regla	Ejemplo con (3, 1)
90°	(x, y) → (−y, x)	(3, 1) → (−1, 3)
180°	(x, y) → (−x, −y)	(3, 1) → (−3, −1)
270°	(x, y) → (y, −x)	(3, 1) → (1, −3)
360°	(x, y) → (x, y)	vuelve al inicio

Trucos para memorizar y verificar:

180° es la más fácil: se cambian AMBOS signos y las coordenadas no se intercambian. El punto queda “al otro lado” del origen.
90° y 270° intercambian las coordenadas (x e y se cruzan) y cambia UN signo. En 90° el signo menos queda en la primera coordenada (−y, x); en 270°, en la segunda (y, −x).
270° antihorario = 90° horario: girar tres cuartos de vuelta en un sentido es lo mismo que un cuarto de vuelta en el otro.
Verificación por cuadrantes: cada giro de 90° antihorario avanza un cuadrante en orden I → II → III → IV → I. Si (3, 1) está en el cuadrante I, su rotación en 90° debe caer en el II — y (−1, 3) efectivamente está en el II ✓.

        (−1,3)│
          ●   │   ● (3,1)      90° antihorario:
              │                el punto avanza
  ────────────┼────────────    un cuadrante
              │                contra el reloj
   (−3,−1) ●  │   ● (1,−3)
     (180°)   │    (270°)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (un punto). Rotar P = (4, −2) en 180° con centro en el origen.

Regla de 180°: cambiar ambos signos.
P’ = (−4, 2). (De cuadrante IV a cuadrante II: dos giros de cuadrante, correcto para 180°.)

Ejemplo 2 (90° antihorario). Rotar A = (2, 5) en 90° con centro en el origen.

Regla: (x, y) → (−y, x): se intercambian las coordenadas y el menos va primero.
A’ = (−5, 2). Verificación por cuadrante: A estaba en I, A’ está en II ✓.

Ejemplo 3 (figura completa, nivel examen). El triángulo de vértices A = (1, 2), B = (4, 2), C = (1, 5) se rota en 270° antihorario con centro en el origen. Encontrar la imagen.

Regla de 270°: (x, y) → (y, −x).
A’ = (2, −1).
B’ = (2, −4).
C’ = (5, −1).
Imagen: A’(2, −1), B’(2, −4), C’(5, −1). Chequeo: AB medía 3 (horizontal); A’B’ mide 3 (vertical, de y=−1 a y=−4) ✓ — las medidas se conservan aunque cambie la orientación.

Errores frecuentes - Confundir la regla de 90° con la de 270°: ambas intercambian x e y; la diferencia es DÓNDE va el signo menos: 90° → (−y, x); 270° → (y, −x). Verifica con el truco de los cuadrantes: 90° antihorario avanza UN cuadrante contra el reloj; 270°, tres. - Olvidar el sentido: por convención el giro es antihorario salvo que el ejercicio diga lo contrario. Si pide “90° en sentido horario”, usa la regla de 270° antihorario. - Aplicar reglas con centro distinto del origen: estas reglas SOLO valen con centro (0, 0). Si el centro es otro punto, el ejercicio se resuelve gráficamente (a este nivel no se exige fórmula). - Confundir rotación con traslación: la traslación mantiene la orientación de la figura (“se desliza”); la rotación la gira. Si en el dibujo la figura aparece “acostada” respecto de la original, hubo rotación. - Cambiar un solo signo en 180°: la regla es (−x, −y), AMBOS signos cambian.

Se ejercita en: Guía A (Eje 3, rotaciones en 90° antihorario y 180°), Guía J (tabla completa de 90°, 180° y 270° con truco de memorización — única guía que cubre 270°), Ensayo B (Eje Geometría).

5) Composición de transformaciones

(Extensión natural del temario: aplicar una transformación después de otra)

La idea central

Componer transformaciones es aplicarlas en cadena: la salida de la primera es la entrada de la segunda. Se resuelve paso a paso, en el orden indicado, sin saltarse etapas.

Dos hechos útiles:

Dos traslaciones seguidas equivalen a una sola traslación cuyo vector es la suma de los vectores: v₁ = (2, 3) seguido de v₂ = (1, −5) equivale a v = (3, −2).
Dos rotaciones seguidas (mismo centro) equivalen a una rotación cuyo ángulo es la suma de los ángulos: 90° y luego 180° = 270°. Y cuatro giros de 90° (= 360°) devuelven la figura a su lugar.

El orden puede importar. Trasladar y luego rotar NO siempre da lo mismo que rotar y luego trasladar (la rotación gira “todo el plano” en torno al origen, incluida la posición a la que la figura llegó). Sigue siempre el orden que dicta el ejercicio.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (dos traslaciones). El punto P = (1, 2) se traslada con v₁ = (3, −1) y luego con v₂ = (−2, 4). ¿Dónde queda?

Primera traslación: (1 + 3, 2 − 1) = (4, 1).
Segunda: (4 − 2, 1 + 4) = (2, 5).
Verificación por vector suma: v₁ + v₂ = (1, 3), y (1 + 1, 2 + 3) = (2, 5) ✓.

Ejemplo 2 (traslación y luego rotación, nivel examen). El punto A = (2, 1) se traslada con v = (1, 2) y el resultado se rota en 90° antihorario con centro en el origen. ¿Cuál es el punto final?

Traslación: (2 + 1, 1 + 2) = (3, 3).
Rotación 90°: (x, y) → (−y, x), entonces (3, 3) → (−3, 3).
Nota: en el orden inverso el resultado sería distinto — rotar primero da (−1, 2), y trasladar después da (0, 4) ≠ (−3, 3). El orden importa.

Ejemplo 3 (dos rotaciones). El punto B = (5, −2) se rota en 90° antihorario y luego en 180°, ambas con centro en el origen. ¿Dónde queda?

Camino largo: 90°: (5, −2) → (2, 5); luego 180°: (2, 5) → (−2, −5).
Camino corto: 90° + 180° = 270°, y la regla de 270° da (5, −2) → (y, −x) = (−2, −5).
Ambos caminos coinciden: (−2, −5) ✓.

Errores frecuentes - Aplicar las dos transformaciones al punto ORIGINAL: la segunda transformación se aplica al resultado de la primera, no al punto de partida. - Cambiar el orden: traslación-luego-rotación ≠ rotación-luego-traslación en general. Respeta el enunciado. - Sumar mal los ángulos: 90° + 270° = 360°, que deja la figura donde estaba (no “en 0 no se mueve nada raro”: simplemente vuelve al inicio). - Perder un paso intermedio: escribe las coordenadas después de CADA transformación; encadenar de memoria produce errores de signo.

Se ejercita en: Guía J (diferencia visual traslación vs rotación; los ejercicios encadenados se practican combinando sus reglas), Guía A y Ensayo B (Eje Geometría, transformaciones por separado).

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