Pauta — abrir solo después de terminar. La corrección se hace el mismo día.
Pauta · Banco de
Ejercitación · Eje Geometría
Preparación Admisión 2027 · Colegio Champagnat · Primero
Medio
Cada ejercicio trae el desarrollo paso a paso y una
comprobación por un camino independiente. Al corregir: si
fallaste, lee el desarrollo completo y repite la comprobación tú misma —
ahí es donde se aprende.
NIVEL 1 · BASE
S1. Cuadrantes
Regla de signos: I (+,+) · II (−,+) · III (−,−) · IV (+,−).
(5, 2): x positiva, y positiva → cuadrante I.
(−3, 6): x negativa, y positiva → cuadrante
II.
(−1, −7): ambas negativas → cuadrante III.
(4, −4): x positiva, y negativa → cuadrante
IV.
Comprobación: dibuja la cruz de ejes con los signos
anotados y ubica cada punto a mano alzada; cada uno debe caer en el
cuadrante indicado.
S2. Puntos sobre los ejes
(0, 4): la x es 0 → está sobre el eje Y, 4 unidades
arriba del origen.
(−6, 0): la y es 0 → está sobre el eje X, 6
unidades a la izquierda del origen.
Comprobación: un punto está en un eje cuando una de
sus coordenadas es 0; si ninguna es 0, está dentro de un cuadrante. Aquí
cada punto tiene exactamente un 0 ✓.
S3. Del movimiento a las
coordenadas
3 a la izquierda → x = −3. 5 hacia arriba → y = +5.
Coordenadas: (−3, 5), con x negativa e y positiva →
cuadrante II.
Comprobación (camino inverso): partiendo de (−3, 5)
y regresando 3 a la derecha y 5 hacia abajo se llega a (0, 0), el origen
✓.
S4. Hipotenusa con catetos 9
y 12
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
c = √225 = 15 cm.
Comprobación: 15² = 225 y 81 + 144 = 225 ✓. Además
es el trío 3-4-5 multiplicado por 3, y la hipotenusa (15) es mayor que
ambos catetos ✓.
S5. Hipotenusa con catetos 5
y 12
c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
c = √169 = 13 m.
Comprobación: 13² = 169 = 25 + 144 ✓. Trío
pitagórico 5-12-13; la hipotenusa es el lado mayor ✓.
Comprobación (medidas conservadas): de A a B las
diferencias son (+2, −1); de A’ a B’ también (+2, −1) ✓. La traslación
mueve todo el triángulo igual, sin deformarlo. Comprobación inversa con
(2, 1): (−2 + 2, 0 + 1) = (0, 1) = A ✓.
NIVEL
2 · TIPO PRUEBA (dosis del día sugerida: S10 a S19; S20 y S21
opcionales)
S10. Cateto
con hipotenusa 25 y cateto 7 — Clave: C
Piden un cateto y el dato es la hipotenusa → se
resta: b² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576.
b = √576 = 24 cm → alternativa
C.
Comprobación: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ✓
(trío 7-24-25). Además 24 < 25: el cateto salió menor que la
hipotenusa ✓.
Distractores: A) 18 = 25 − 7 (restó los lados, no
los cuadrados). B) 32 = 25 + 7 (sumó los lados). D) 26 ≈ √(625 + 49)
(sumó los cuadrados cuando correspondía restar — EL error del tema;
delata el error que el resultado sea mayor que la hipotenusa).
S11. Escalera de 15 m, base a
9 m
La escalera es la hipotenusa (15); la distancia al
muro es un cateto (9); la altura es el otro
cateto.
h² = 15² − 9² = 225 − 81 = 144.
h = √144 = 12 m.
Comprobación: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ✓
(trío 3-4-5 por 3). Y 12 < 15: la altura es menor que la escalera,
como debe ser ✓.
S12. Diagonal del patio
12 × 16 — Clave: B
La diagonal parte el rectángulo en dos triángulos rectángulos: la
diagonal es la hipotenusa, los lados son catetos.
d² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400.
d = √400 = 20 m → alternativa
B.
Comprobación: 12-16-20 es el trío 3-4-5 multiplicado
por 4: 144 + 256 = 400 = 20² ✓. La diagonal (20) es mayor que cada lado
y menor que su suma (28) ✓.
Distractores: A) 28 = 12 + 16 (sumó los lados en vez
de sus cuadrados). C) 4 = 16 − 12 (restó los lados). D) 400 (olvidó
sacar la raíz: se quedó en d²).
S13. Dron: 20 km este y 21
km norte
Los dos tramos son perpendiculares (este ⊥ norte): forman los
catetos; la distancia en línea recta es la hipotenusa.
d² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.
d = √841 = 29 km.
Comprobación: 29² = 841 y 400 + 441 = 841 ✓ (trío
20-21-29). Sensatez: 29 es mayor que cada tramo (20 y 21) y menor que ir
por el camino largo (41) ✓.
S14. Volantín con hilo
de 26 m — Clave: A
El hilo tenso es la hipotenusa (26); la distancia
horizontal en el suelo es un cateto (24); la altura es el otro
cateto.
Distractores: B) 50 = 24 + 26 (sumó los lados). C) 2
= 26 − 24 (restó los lados). D) 35 ≈ √(676 + 576) (sumó los cuadrados en
vez de restar).
S15. Rotación de
(5, 3) en 90° antihorario — Clave: C
Regla de 90°: (x, y) → (−y, x): se intercambian las coordenadas y el
signo menos queda en la primera.
(5, 3) → (−3, 5) → alternativa
C.
Comprobación (cuadrantes): (5, 3) está en el
cuadrante I; un giro de 90° antihorario avanza UN cuadrante (I → II), y
(−3, 5) está en el II ✓. Comprobación extra: rotar (−3, 5) otros 90° da
(−5, −3), que es exactamente la regla de 180° aplicada a (5, 3) ✓.
Distractores: A) (3, −5) es la rotación en 270°
(confundir el sentido del giro). B) (−5, −3) es la rotación en 180°. D)
(3, 5) intercambia las coordenadas pero olvida el cambio de signo.
S16. Triángulo rotado en 180°
Regla de 180°: (x, y) → (−x, −y): cambian AMBOS signos, sin
intercambiar coordenadas.
A(2, 3) → A’(−2, −3).
B(5, 1) → B’(−5, −1).
C(3, −2) → C’(−3, 2).
Comprobación (doble giro de 90°): A(2, 3) rotado 90°
da (−3, 2); rotado otros 90° da (−2, −3) = A’ ✓. Cuadrantes: A pasa de I
a III (dos cuadrantes de avance, correcto para 180°); C pasa de IV a II
✓.
S17. Rotación
de (4, 1) en 270° antihorario — Clave: B
Regla de 270°: (x, y) → (y, −x): se intercambian las coordenadas y
el signo menos queda en la segunda.
(4, 1) → (1, −4) → alternativa
B.
Comprobación (triple giro de 90°): (4, 1) → 90° →
(−1, 4) → 90° → (−4, −1) → 90° → (1, −4) ✓. Cuadrantes: de I avanza tres
cuadrantes antihorario (I → II → III → IV) y (1, −4) está en el IV
✓.
Distractores: A) (−1, 4) es la rotación en 90°
(confundir 270° con 90°). C) (−4, −1) es la de 180°. D) (4, −1) solo
cambia un signo sin intercambiar coordenadas.
S18. Rotación de (2, 6) en
90° horario
90° en sentido horario equivale a 270°
antihorario (llegar al mismo lugar girando por el otro
lado).
Comprobación: si a (6, −2) le aplico 90°
antihorario debo deshacer el giro y volver al inicio:
(−y, x) = (2, 6) ✓. Cuadrantes: girando en sentido horario desde I se
retrocede al IV, y (6, −2) está en el IV ✓.
Distractores: B) (−9, 0) restó ambos vectores en vez
de sumarlos. C) (6, 2) es la suma de los vectores “sola” (olvidó
aplicarla al punto A). D) (3, −4) error de signo en la coordenada y del
último paso.
S21. Poste con cable de 17 m
El cable es la hipotenusa (17); la distancia de la
base al anclaje es un cateto (8); el poste es el otro cateto.
h² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225.
h = √225 = 15 m.
Comprobación: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² ✓
(trío 8-15-17). El poste (15) salió menor que el cable (17) ✓.
NIVEL 3 · DESAFÍO
S22.
Hipotenusa con raíz no exacta (catetos 4 y 6)
c² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52 → c = √52. Como 49 < 52 < 64, es
decir 7² < 52 < 8², la hipotenusa está entre 7 y 8
cm.
52 está a 3 unidades de 49 y a 12 unidades de 64 → √52 está
más cerca de 7.
Comprobación: 7² = 49 (se queda corto) y 8² = 64 (se
pasa) ✓; además 7,2² = 51,84 ≈ 52, lo que confirma que está apenas por
sobre 7 ✓. Prueba definitiva con el punto medio: 7,5² = 56,25 y 52 <
56,25, así que √52 queda por debajo de 7,5 → más cerca de 7 ✓. Sensatez:
la hipotenusa (≈7,2) es mayor que ambos catetos (4 y 6) ✓.
S23.
Cateto con raíz no exacta (hipotenusa 9, cateto 5)
Piden un cateto → se resta: b² = 9² − 5² = 81 − 25 = 56 → b =
√56.
Como 49 < 56 < 64 (7² < 56 < 8²), el cateto mide
entre 7 y 8 m.
Comprobación: con b ≈ 7,5: 5² + 7,5² = 25 + 56,25 ≈
81 = 9² ✓. Y el cateto (≈7,5) salió menor que la hipotenusa (9) ✓ — si
hubieras sumado, √106 ≈ 10,3 > 9 habría delatado el error.
S24.
Composición: trasladar y rotar (y el orden importa)
Traslación con v = (2, −1): (1 + 2, 4 − 1) = (3, 3). Rotación en
180°: (−x, −y) → (−3, −3).
Orden inverso: rotación primero: (1, 4) → (−1, −4). Traslación
después: (−1 + 2, −4 − 1) = (1, −5).
No se llega al mismo punto: (−3, −3) ≠ (1, −5).
Conclusión: el orden de las transformaciones importa;
hay que respetar el orden del enunciado.
Comprobación de a) (doble giro de 90°): (3, 3) → 90°
→ (−3, 3) → 90° → (−3, −3) ✓. Comprobación de b) (deshacer los pasos):
(1, −5) menos el vector da (−1, −4), y rotarlo 180° devuelve (1, 4) = B
✓.
S25. Composición: rotar y
trasladar
Rotación de C(−4, 2) en 90° antihorario: (x, y) → (−y, x) = (−2,
−4).
Traslación con v = (5, 1): (−2 + 5, −4 + 1) = (3,
−3).
Comprobación: cuadrantes del giro: C está en II; 90°
antihorario avanza a III, y (−2, −4) está en III ✓. Deshacer la cadena:
(3 − 5, −3 − 1) = (−2, −4), y girarlo 270° (el giro que deshace 90°) da
(y, −x) = (−4, 2) = C ✓.
S26. ¿Es
rectángulo? Verificación con Pitágoras
Lados 9, 12 y 15 (el mayor, 15, sería la hipotenusa): 9² + 12² = 81
+ 144 = 225 y 15² = 225. Como coinciden, sí es
rectángulo.
Lados 5, 6 y 8 (el mayor es 8): 5² + 6² = 25 + 36 = 61, pero 8² =
64. Como 61 ≠ 64, no es rectángulo.
Comprobación: en a), 9-12-15 es el trío 3-4-5
multiplicado por 3, y todo múltiplo de un trío pitagórico es pitagórico
✓. En b), como 61 < 64, la “hipotenusa” es demasiado larga para esos
catetos: el ángulo mayor pasa de 90° (triángulo obtusángulo), coherente
con que no cumpla el teorema ✓.
S27. Recuperar el vector
de traslación
El vector es la resta “llegada menos partida”: v = (4 − (−3), −1 −
5) = (7, −6).
Aplicando el mismo vector a R(0, −2): R’ = (0 + 7, −2 − 6) =
(7, −8).
Comprobación de a): aplicar (7, −6) a Q: (−3 + 7, 5
− 6) = (4, −1) = Q’ ✓. Comprobación de b) (inversa): (7
− 7, −8 + 6) = (0, −2) = R ✓.
S28. Rotación
inversa: encontrar el punto original
El giro que deshace una rotación de 90° antihorario
es una rotación de 270° antihorario (90° + 270° = 360°,
vuelta completa).
Aplico la regla de 270° a la imagen: (x, y) → (y, −x): (−6, 2) →
(2, 6). Ese era P.
Comprobación (camino directo): rotar P(2, 6) en 90°
antihorario: (−y, x) = (−6, 2), que es exactamente la imagen dada ✓.
Cuadrantes: P está en I y su imagen en II, un cuadrante de avance
antihorario, correcto para 90° ✓.
Errores trampa a vigilar
en este eje
Sumar cuando piden un cateto. Es EL distractor
clásico (aparece en S10 y S14). Antes de calcular pregúntate: ¿me piden
el lado largo (hipotenusa → sumar) o uno corto (cateto → restar)?
Chequeo final: la hipotenusa SIEMPRE debe ser el lado mayor; si tu
“cateto” salió más largo que la hipotenusa, sumaste donde había que
restar.
Restar o sumar los lados en vez de sus cuadrados.
12 + 16 no es la diagonal ni 26 − 24 la altura: el teorema relaciona los
CUADRADOS de los lados.
Quedarse en c² y olvidar la raíz. d² = 400 no es
respuesta; la respuesta es d = 20 (distractor D de S12).
Confundir 90° con 270°. Ambas intercambian x e y;
la diferencia es dónde va el signo menos: 90° → (−y, x), 270° → (y, −x).
Verifica siempre con los cuadrantes: 90° antihorario avanza UN
cuadrante; 270°, tres. Y ante la duda, 270° = tres giros seguidos de
90°.
Olvidar el sentido del giro. Por convención el giro
es antihorario; si el enunciado dice “horario” (como S18), traduce: 90°
horario = 270° antihorario.
En 180°, cambiar un solo signo. La regla es (−x,
−y): cambian AMBOS signos y las coordenadas NO se intercambian.
Restar el vector en una traslación. Trasladar es
SUMAR el vector; la resta solo se usa para recuperar el vector (S27) o
para deshacer una traslación al comprobar.
En composiciones, aplicar todo al punto original o cambiar
el orden. La segunda transformación se aplica al RESULTADO de
la primera, y trasladar-luego-rotar ≠ rotar-luego-trasladar (S24 lo
demuestra). Escribe las coordenadas después de CADA paso.
Invertir el par ordenado. (2, 5) no es (5, 2):
primero horizontal (x), después vertical (y). Un bosquejo rápido con los
signos de los cuadrantes detecta estos errores al instante.