Preparación Admisión 2027 · Colegio Champagnat · Primero Medio
Este documento es un apunte de referencia: cuando al ejercitar surja una duda sobre un tema de este eje, busca aquí la sección correspondiente, lee la explicación y el ejemplo resuelto, y luego vuelve al ejercicio. No es una guía de ejercicios.
Contenido: 1. Números enteros y su operatoria 2. Orden de las operaciones 3. Números racionales en la recta numérica 4. Potencias y sus propiedades 5. Raíces cuadradas: cálculo, estimación y aproximación
(Temario: “Operatoria con números enteros — adición, sustracción, producto y cociente” y “Resolución de problemas que involucren números enteros”)
Los números enteros son los naturales (1, 2, 3, …), sus opuestos negativos (−1, −2, −3, …) y el cero. Los negativos representan cantidades “por debajo de cero” o “en sentido contrario”: deudas, temperaturas bajo cero, pisos de subterráneo, metros bajo el nivel del mar.
La forma más segura de pensar la suma y la resta de enteros es como movimientos sobre la recta numérica:
← restar / sumar negativos sumar positivos →
───┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼───
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4Caso 1 — Mismo signo: se suman los valores y se conserva el signo.
Caso 2 — Signos distintos: se restan los valores y gana el signo del número “más grande” (en valor absoluto).
Caso 3 — Restar es sumar el opuesto. Toda resta se puede convertir en suma:
Ejemplos: 4 − (−6) = 4 + 6 = 10. También −3 − 5 = −3 + (−5) = −8.
¿Por qué “menos por menos da más” al restar un negativo? Piensa en dinero: si tienes una deuda de $6 y alguien te la quita (te la resta), tu situación mejora en $6. Quitar algo negativo equivale a agregar algo positivo.
| Signos de los factores | Signo del resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| (+) · (+) | + | 4 · 3 = 12 |
| (−) · (−) | + | (−4) · (−3) = 12 |
| (+) · (−) | − | 4 · (−3) = −12 |
| (−) · (+) | − | (−4) · 3 = −12 |
Regla corta: signos iguales → resultado positivo; signos distintos → resultado negativo. La misma tabla vale para la división: (−12) : 3 = −4, (−12) : (−3) = 4.
¿Por qué (−) · (−) = (+)? Multiplicar por −1 significa “tomar el opuesto”. Entonces (−1) · (−4) es “el opuesto de −4”, que es 4. Otra forma de verlo: si perder $4 por día se escribe −4, entonces “hace 3 días” (−3 días) tenías 12 pesos más que hoy: (−4) · (−3) = +12.
Ojo: la regla de los signos de la multiplicación no se aplica a la suma. (−4) + (−3) = −7 (negativo), aunque “menos con menos” en multiplicación dé positivo. Este es uno de los errores más frecuentes de toda la prueba.
Ejemplo 1 (directo). Calcular (−8) + 15 − (−4).
Ejemplo 2 (combinado). Calcular (−3) · 4 + (−20) : (−5).
Ejemplo 3 (problema, nivel examen). La temperatura en Portillo a las 7:00 era de −6 °C. Al mediodía había subido 9 °C, y entre el mediodía y las 23:00 bajó 11 °C. ¿Cuál era la temperatura a las 23:00?
Errores frecuentes - Aplicar la regla de los signos de la multiplicación a la suma: creer que (−5) + (−3) = +8. Falso: dos negativos que se suman dan un negativo mayor: −8. La regla “menos por menos da más” es solo para multiplicar y dividir. - Perder el signo al restar hacia atrás: en 3 − 11 escribir 8 en vez de −8. Si restas más de lo que tienes, el resultado queda bajo cero. - Confundir −(−b): −(−4) = +4, siempre. Dos signos menos seguidos se transforman en un más. - En problemas verbales, no traducir bien: “bajó”, “perdió”, “debe”, “bajo cero” indican negativos; “subió”, “ganó”, “sobre cero” indican positivos. Escribe la expresión numérica antes de calcular.
Se ejercita en: Guía A (Eje 1), Guía H (enteros en la recta y regla de los signos), Ensayo B (preguntas 1-8).
(Herramienta transversal: aparece dentro de la operatoria con enteros y en casi todos los ejes)
Cuando una expresión mezcla varias operaciones, no se resuelve de izquierda a derecha “a ciegas”. Existe una jerarquía acordada para que todos obtengamos el mismo resultado:
¿Por qué existe esta jerarquía? Porque la multiplicación es una suma abreviada y la potencia es una multiplicación abreviada: las operaciones “más comprimidas” se desarman primero. Sin este acuerdo, 2 + 3 · 4 podría valer 20 o 14 según quién lo lea; con la jerarquía, vale siempre 14.
Ejemplo 1 (directo). Calcular 5 + 3 · (−2).
Ejemplo 2 (con paréntesis y potencia). Calcular (7 − 10)² − 4 · 5.
Ejemplo 3 (nivel examen). Calcular 20 : (−4) + 2 · (3 − 8)².
Errores frecuentes - Resolver de izquierda a derecha ignorando la jerarquía: en 5 + 3 · (−2), sumar antes de multiplicar. - Olvidar el paréntesis al elevar un negativo: (−5)² = 25, pero −5² = −25 (ver sección de potencias). Si el número negativo está dentro del paréntesis que se eleva, el signo también se eleva. - Saltarse un paso mental: escribir cada paso en una línea nueva. Los errores de signo casi siempre aparecen cuando se hacen dos operaciones “de cabeza” a la vez.
Se ejercita en: Guía A (Eje 1), Guía H, Ensayo B (preguntas de operatoria combinada).
(Temario: “Representación de números racionales en la recta numérica”)
Un número racional es cualquier número que puede escribirse como fracción a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Incluye:
Todos ellos tienen un lugar exacto en la recta numérica. Ubicarlos y compararlos es el objetivo de esta sección.
Una fracción a/b indica: divide cada unidad en b partes iguales y toma a de esas partes.
Para ubicar 3/4: divide el tramo de 0 a 1 en 4 partes iguales y avanza 3.
0 1/4 2/4 3/4 1
┼─────────┼─────────┼─────────●─────────┼Para fracciones mayores que 1, conviene escribirlas como número mixto: 7/4 = 1 + 3/4, así que 7/4 está entre 1 y 2, a 3/4 de camino desde el 1.
Para fracciones negativas, se ubica la fracción positiva y se refleja al otro lado del cero: −3/4 está entre −1 y 0, a la misma distancia del cero que 3/4.
−1 −3/4 0 3/4 1
┼────────●─────────────────┼─────────●────────┼Tres estrategias, de la más rápida a la más general:
Con negativos, el orden se invierte: en la recta, “mayor” significa “más a la derecha”. Como −0,8 está más a la izquierda que −0,75, resulta −0,8 < −0,75, aunque 0,8 > 0,75. Entre negativos, el de menor valor absoluto es el mayor.
Ejemplo 1 (ubicar). Ubicar −5/2 en la recta numérica.
−3 −5/2 −2 0
┼────────●────────┼─────────────────┼Ejemplo 2 (comparar). Ordenar de menor a mayor: 0,4 ; 1/3 ; −0,7 ; −2/3.
Ejemplo 3 (nivel examen). ¿Qué número está exactamente en la mitad entre −1 y 1/2?
Errores frecuentes - Creer que −0,8 > −0,75 “porque 8 > 75 no, porque 0,8 > 0,75”: entre negativos el orden se invierte; el número con mayor valor absoluto es el MENOR. Dibuja la recta si hay duda. - Comparar fracciones mirando solo los numeradores o solo los denominadores: 1/3 no es menor que 1/5 “porque 3 < 5” — al contrario, 1/3 > 1/5: a más partes, cada parte es más chica. - Ubicar 7/4 entre 0 y 1: toda fracción con numerador mayor que el denominador vale más que 1. Conviértela a número mixto primero. - Marcar −3/4 a la derecha del 0 por descuido con el signo: los negativos siempre van a la izquierda del cero.
Se ejercita en: Guía A (Eje 1), Guía H (enteros y recta numérica; para fracciones y decimales en la recta este apunte es la referencia principal), Ensayo B (Eje Números).
(Temario: “Potencias, cálculo por definición y propiedades de las potencias”)
Una potencia es una multiplicación abreviada:
aⁿ = a · a · a · … · a (n veces)
Ejemplos por definición: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32; (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = −27; (1/2)³ = 1/8; (0,3)² = 0,09.
Cuando la base es negativa, el signo del resultado depende del exponente:
La distinción clave del examen: (−2)⁴ vs −2⁴.
Sin paréntesis, el exponente actúa solo sobre el número, no sobre el signo.
Todas las propiedades se demuestran “desarmando” las potencias en multiplicaciones. Si entiendes el porqué, no necesitas memorizar a ciegas.
| Propiedad | Regla | Por qué funciona |
|---|---|---|
| Producto de igual base | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2² = (2·2·2)·(2·2) = 2⁵: se juntan los factores, los exponentes se suman |
| Cuociente de igual base | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁵ : 2² = (2·2·2·2·2)/(2·2): se cancelan 2 factores, los exponentes se restan |
| Potencia de potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶: los exponentes se multiplican |
| Producto de igual exponente | aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ | 2³ · 5³ = (2·5)³ = 10³: mismas repeticiones, bases se multiplican |
| Cuociente de igual exponente | aⁿ : bⁿ = (a:b)ⁿ | 6² : 3² = (6:3)² = 2² = 4 |
| Exponente cero | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2³ : 2³ = 2³⁻³ = 2⁰, y cualquier número dividido por sí mismo es 1 |
| Exponente uno | a¹ = a | La base aparece una sola vez |
El origen del exponente cero merece verse dos veces: 8 : 8 = 1 y a la vez 2³ : 2³ = 2⁰. Como ambos cálculos son el mismo, la única opción coherente es definir 2⁰ = 1. Por eso todo número distinto de cero elevado a 0 vale 1 — incluso 573⁰ = 1 y (−5)⁰ = 1.
Condición clave: las propiedades de suma/resta de exponentes exigen la misma base; las de bases distintas exigen el mismo exponente. Si no coincide ni la base ni el exponente (por ejemplo 2³ · 5²), no hay propiedad que aplicar: se calcula cada potencia por separado (8 · 25 = 200).
Ejemplo 1 (definición y signos). Calcular (−2)³ + (−2)⁴ − 2⁴.
Ejemplo 2 (propiedades). Simplificar y calcular: (3⁴ · 3²) : 3⁵.
Ejemplo 3 (nivel examen). ¿Cuál es el valor de (2³)² : 2⁴ + 5⁰?
Errores frecuentes - Confundir potencia con multiplicación: 2⁵ NO es 2 · 5 = 10; es 2·2·2·2·2 = 32. El exponente cuenta repeticiones, no es un factor. - −2⁴ = 16: falso. Sin paréntesis, −2⁴ = −16. Solo (−2)⁴ = +16. Este error tiene recuadro propio en la Guía A porque aparece casi siempre en la prueba. - Multiplicar los exponentes en el producto: 2³ · 2² NO es 2⁶; es 2⁵. Los exponentes se suman al multiplicar y se multiplican solo en la potencia de potencia (2³)². - Creer que a⁰ = 0: todo número distinto de cero elevado a 0 vale 1, no 0. - Aplicar propiedades con bases distintas: 2³ · 3² no se puede “juntar”; se calcula 8 · 9 = 72.
Se ejercita en: Guía A (Eje 1, incluye el recuadro −2⁴ vs (−2)⁴), Guía H (potencias y propiedades), Ensayo B (Eje Números).
(Temario: “Raíces cuadradas, cálculo y aproximación”)
La raíz cuadrada es la pregunta inversa de elevar al cuadrado:
√n = “¿qué número positivo, multiplicado por sí mismo, da n?”
Geométricamente: si un cuadrado tiene área n, entonces √n es la medida de su lado. Un cuadrado de área 25 tiene lado 5.
Los cuadrados perfectos son los resultados de elevar enteros al cuadrado. Con esta tabla se resuelve casi todo el tema:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Si el número es un cuadrado perfecto, su raíz es exacta: √144 = 12, √196 = 14.
Cuando n no es cuadrado perfecto, √n no es un número entero (de hecho, es irracional), pero se puede atrapar entre dos enteros consecutivos:
Método de los 3 pasos: 1. Busca el cuadrado perfecto inmediatamente menor que n y el inmediatamente mayor. 2. Escribe la desigualdad con las tres raíces. 3. Concluye entre qué enteros está √n.
Para √40: como 36 < 40 < 49, entonces √36 < √40 < √49, es decir, 6 < √40 < 7.
Para afinar más: 40 está más cerca de 36 que de 49 (a 4 del 36 y a 9 del 49), así que √40 está más cerca de 6 que de 7 — aproximadamente 6,3 (comprobación: 6,3² = 39,69, muy cerca de 40).
Ejemplo 1 (exacta). Calcular √64 + √9.
Ejemplo 2 (estimación). ¿Entre qué números enteros consecutivos está √75?
Ejemplo 3 (nivel examen). ¿Cuál de estos números es el mejor valor aproximado de √50: 6,5 · 7,1 · 7,8 · 8,2?
Errores frecuentes - Dividir por 2 en lugar de sacar raíz: √36 NO es 18; es 6. La raíz pregunta “qué número por sí mismo da 36”, no “la mitad de 36”. - Repartir la raíz en sumas: √(a + b) ≠ √a + √b. Comprobación: √(9+16) = √25 = 5, pero √9 + √16 = 3 + 4 = 7. (Con productos sí funciona: √(9·16) = √9 · √16 = 12.) - Estimar sin la tabla de cuadrados: sin saber que 8² = 64 y 9² = 81, no hay forma rápida de ubicar √75. Repasa la tabla hasta el 15² = 225. - Raíz cuadrada de un número negativo: √−9 no existe en los números que se usan en este nivel, porque ningún número real al cuadrado da negativo. (Distinto es −√9 = −3, que sí existe.)
Se ejercita en: Guía A (Eje 1, raíces y estimación), Guía H (raíz como pregunta inversa, cuadrados perfectos y estimación), Ensayo B (Eje Números).
Siguiente documento: 02-algebra-funciones.md — el álgebra usa constantemente la operatoria de enteros y las potencias de este apunte.