Preparación Admisión 2027 · Colegio Champagnat · Primero Medio
Apunte de referencia: cuando surja una duda al ejercitar, busca aquí el tema, lee la explicación y el ejemplo resuelto, y vuelve al ejercicio. No es una guía de ejercicios.
Contenido: 1. Lenguaje algebraico 2. Reducción de términos semejantes 3. Multiplicación de expresiones algebraicas 4. Ecuaciones de primer grado 5. Función lineal y función afín
(Base del temario “Términos algebraicos”: traducir situaciones a expresiones con letras)
El álgebra usa letras para representar números desconocidos o variables. Una letra no es un misterio: es un número que todavía no conocemos (una incógnita) o que puede cambiar (una variable).
Un término algebraico tiene dos partes:
Cuando la letra va sola, el coeficiente es 1: x = 1x, y −x = −1x.
| Frase | Expresión |
|---|---|
| el doble de un número | 2x |
| el triple de un número | 3x |
| la mitad de un número | x/2 |
| un número aumentado en 7 | x + 7 |
| un número disminuido en 4 | x − 4 |
| el antecesor / el sucesor de un número | x − 1 / x + 1 |
| el cuadrado de un número | x² |
| el doble de un número, aumentado en 3 | 2x + 3 |
| el doble de “un número aumentado en 3” | 2(x + 3) |
Las dos últimas filas son la trampa clásica: la coma (o el orden de la frase) cambia dónde va el paréntesis. “El doble de un número, aumentado en 3” duplica primero y suma después: 2x + 3. “El doble de un número aumentado en 3” (todo junto) suma primero y duplica el total: 2(x + 3).
Ejemplo 1 (traducir). Escribir como expresión: “el triple de un número, disminuido en 5”.
Ejemplo 2 (evaluar). Si x = −2, calcular el valor de 4x² − 3x + 1.
Ejemplo 3 (nivel examen). Sofía tiene el doble de láminas que su prima, y entre las dos juntan 36 láminas. Escribir la ecuación que representa la situación.
Errores frecuentes - Confundir 2x con x²: 2x es “x + x” (el doble); x² es “x · x” (el cuadrado). Con x = 3: 2x = 6 pero x² = 9. - Ignorar el paréntesis de la frase: “el doble de la suma” es 2(x + y), no 2x + y. - Evaluar sin paréntesis con negativos: al reemplazar x = −2 en x², escribir −2² = −4 en vez de (−2)² = 4. Siempre sustituye entre paréntesis.
Se ejercita en: Guía A (Eje 2), Guía I (analogías de traducción), Ensayo B (problemas verbales del Eje Álgebra).
(Temario: “Reducción de términos semejantes”)
Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente el mismo factor literal (mismas letras con los mismos exponentes). Solo los términos semejantes se pueden sumar o restar entre sí.
La analogía de las frutas lo hace evidente: 3 manzanas + 2 manzanas = 5 manzanas, pero 3 manzanas + 2 peras no se pueden juntar en una sola fruta. Igualmente:
Por qué funciona: 3x + 2x = x + x + x + x + x = 5x. Reducir es simplemente contar cuántas veces aparece el mismo objeto. Por eso se suman los coeficientes y el factor literal se conserva igual — nunca se transforma x en x².
Cada término “viaja” con el signo que tiene delante. En 7a − 3b − 4a + b, los términos son: +7a, −3b, −4a, +b.
Si hay un signo menos delante de un paréntesis, al eliminarlo cambian TODOS los signos de adentro:
−(2x − 5) = −2x + 5
Ejemplo 1 (directo). Reducir 5x + 3 − 2x + 8.
Ejemplo 2 (varias letras y signos). Reducir 4a − 6b − a + 2b + 3a.
Ejemplo 3 (nivel examen, con paréntesis). Reducir 3(2x − 1) − (x − 4).
Errores frecuentes - Sumar no semejantes: 3x + 2 NO es 5x ni 5. Se queda como 3x + 2. Tampoco 3x + 2x² es 5x³: no son semejantes y las potencias no se suman al sumar términos. - Perder el signo de un término: el signo pertenece al término que lo sigue. Marca cada término con su signo antes de agrupar. - Cambiar solo el primer signo al abrir −( ): −(x − 4) = −x + 4, no −x − 4. El menos afecta a TODO el paréntesis. - Olvidar el coeficiente 1: −a + 4a = 3a (porque −a = −1a), no 4a.
Se ejercita en: Guía A (Eje 2), Guía I (términos semejantes con analogía de frutas), Ensayo B (Eje Álgebra).
(Temario: “Multiplicación de expresiones algebraicas”)
Para multiplicar expresiones con letras se combinan dos reglas que ya conoces:
Y cuando hay sumas dentro de un paréntesis, se usa la propiedad distributiva: multiplicar “cada uno con cada uno”.
Se multiplican coeficiente con coeficiente y letra con letra:
3x · 4x = (3 · 4) · (x · x) = 12x²
(−2a) · 5ab = (−2 · 5) · (a · a · b) = −10a²b
El monomio “reparte” su multiplicación a cada término del paréntesis:
3x · (2x + 5) = 3x · 2x + 3x · 5 = 6x² + 15x
Por qué funciona: multiplicar es calcular un área. Un rectángulo de alto 3x y ancho (2x + 5) se puede cortar en dos rectángulos: uno de área 3x · 2x y otro de área 3x · 5. El área total es la suma de las partes.
← 2x →← 5 →
┌──────────┬────────┐
3x│ 6x² │ 15x │
└──────────┴────────┘Cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo: 4 productos en total, y luego se reducen los semejantes.
(x + 3)(x + 2) = x·x + x·2 + 3·x + 3·2 = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6
Un orden útil para no saltarse ninguno: Primeros, Exteriores, Interiores, Últimos.
Con signos negativos, cada producto arrastra su signo:
(x − 4)(x + 1) = x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4
Ejemplo 1 (monomios). Multiplicar (−4x²) · (3x).
Ejemplo 2 (monomio × binomio). Desarrollar −2x(3x − 7).
Ejemplo 3 (nivel examen, binomio × binomio). Desarrollar y reducir (2x + 3)(x − 5).
Comprobación rápida evaluando en x = 1: (2+3)(1−5) = 5 · (−4) = −20, y 2 − 7 − 15 = −20 ✓.
Errores frecuentes - x · x = 2x: falso. x · x = x² (los exponentes se suman al multiplicar); 2x es x + x. Es el mismo error de confundir doble con cuadrado. - Distribuir a medias: 3x(2x + 5) = 6x² + 5 es incorrecto — el 3x debe multiplicar a AMBOS términos: 6x² + 15x. - Hacer solo 2 de los 4 productos en binomio × binomio: (x+3)(x+2) NO es x² + 6. Faltan los términos cruzados 2x y 3x. Siempre son 4 productos antes de reducir. - Errores de signo en los productos cruzados: en (x − 4)(x + 1), el −4 multiplica con su signo: −4 · x = −4x y −4 · 1 = −4. - Olvidar reducir al final: el desarrollo termina cuando los términos semejantes están juntos.
Se ejercita en: Guía A (Eje 2, incluye binomios) y Ensayo B (P12). Atención: la Guía I no retoma binomio × binomio; para practicarlo usa la Guía A y el ensayo.
(Temario: “Resolución de ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros y racionales” y “Representación de ecuaciones de primer grado”)
Una ecuación es una igualdad con una incógnita: dos expresiones que valen lo mismo, como una balanza en equilibrio. Resolverla es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
La regla de oro de la balanza: lo que se hace a un lado, se hace también al otro. Si sumas, restas, multiplicas o divides en un lado, debes hacer exactamente lo mismo en el otro para mantener el equilibrio.
El paso 4 es tu red de seguridad en la prueba: la comprobación detecta cualquier error de los pasos anteriores.
“Pasar al otro lado”: cuando se dice que un término “pasa restando” o “pasa dividiendo”, es una abreviación de la regla de la balanza. En x + 5 = 12, restar 5 en ambos lados da x = 12 − 5: el +5 “pasó” como −5.
Cuando la ecuación tiene fracciones, el camino más seguro es eliminar los denominadores multiplicando TODA la ecuación por un múltiplo común de ellos. Con decimales, multiplicar por 10 o 100 los convierte en enteros.
Ejemplo 1 (coeficientes enteros). Resolver 3x − 7 = 11.
Ejemplo 2 (incógnita en ambos lados). Resolver 5x + 4 = 2x − 8.
Ejemplo 3 (coeficientes racionales, nivel examen). Resolver x/2 + x/3 = 10.
Ejemplo extra (con paréntesis). Resolver 2(x − 3) = x + 5.
Errores frecuentes - “Pasar” sin cambiar la operación: en x + 5 = 12, el 5 pasa RESTANDO (x = 12 − 5 = 7), no sumando. Y en 3x = 18, el 3 pasa DIVIDIENDO (x = 6), no restando (x ≠ 15). - Operar solo un lado de la balanza: si multiplicas por 6 para eliminar fracciones, TODOS los términos de ambos lados se multiplican por 6, incluido el número solo. - Errores de signo al agrupar: al mover 2x del lado derecho al izquierdo, llega como −2x. - No comprobar: reemplazar la solución en la ecuación original toma 20 segundos y detecta casi todos los errores. En la prueba, hazlo siempre que el tiempo lo permita. - Dividir por el coeficiente olvidando su signo: si −3x = 12, entonces x = 12 : (−3) = −4, no 4.
Se ejercita en: Guía A (Eje 2), Guía I (método de 4 pasos con comprobación), Ensayo B (Eje Álgebra).
(Temario: “Función lineal y afín, representación gráfica, modelamiento y evaluación de funciones”, “Cálculo de pre imagen e imagen” y “Modelar situaciones contextualizadas”)
Una función es una regla que a cada valor de entrada le asigna exactamente un valor de salida. La imagen útil es una máquina: entra un número x, la máquina aplica su regla, y sale un número f(x).
entrada x ──→ ┌─────────────┐ ──→ salida f(x)
│ regla: 3x+2 │
└─────────────┘Si la regla es f(x) = 3x + 2 y entra x = 4, sale f(4) = 3 · 4 + 2 = 14.
Truco de idioma: imagen = resultado de salida (evaluar, fácil); preimagen = “pre”, lo de antes, lo que entró (resolver ecuación). Si la pregunta dice “¿cuál es la preimagen de 14?”, NO se calcula f(14): se resuelve 3x + 2 = 14.
| Función lineal | Función afín | |
|---|---|---|
| Forma | f(x) = mx | f(x) = mx + n, con n ≠ 0 |
| Gráfica | recta que pasa por el origen (0,0) | recta que corta el eje Y en (0, n) |
| Ejemplo | f(x) = 2x | f(x) = 2x + 3 |
| Situación típica | precio proporcional: cada kilo cuesta lo mismo, 0 kilos = $0 | cargo fijo + costo variable: plan base + costo por minuto |
En ambas:
Una función lineal es proporcional: al doble de entrada, doble de salida. La afín NO lo es (por culpa del n): con f(x) = 2x + 3, f(2) = 7 pero f(4) = 11 ≠ 14.
Para f(x) = 2x + 3: parte en (0, 3); avanzando 1 a la derecha sube 2, llegando a (1, 5). También puedes armar una tabla de valores:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x + 3 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Observa que cada vez que x aumenta 1, f(x) aumenta 2 (la pendiente): esa regularidad es la firma de las rectas.
Receta para problemas contextualizados:
Ejemplo 1 (evaluar / imagen). Para f(x) = −2x + 9, calcular la imagen de 5.
Ejemplo 2 (preimagen). Para f(x) = 3x − 4, ¿cuál es la preimagen de 11?
Ejemplo 3 (modelamiento, nivel examen). Un plan de celular cobra un cargo fijo de $5.000 más $20 por cada minuto hablado. (a) Escribir la función del costo mensual. (b) ¿Cuánto se paga por hablar 150 minutos? (c) Si un mes la cuenta fue de $9.000, ¿cuántos minutos se hablaron?
Ejemplo 4 (leer la gráfica). Una recta corta el eje Y en (0, −2) y pasa por (1, 1). ¿Cuál es su función?
Errores frecuentes - Confundir imagen con preimagen: “preimagen de 11” NO es f(11). Preimagen = resolver f(x) = 11. Antes de calcular, pregúntate: ¿el número dado entró o salió de la máquina? - Llamar lineal a toda recta: solo f(x) = mx (que pasa por el origen) es lineal; f(x) = mx + n con n ≠ 0 es afín. El examen suele preguntar exactamente esta distinción. - Intercambiar m y n: en f(x) = 2x + 3, la pendiente es 2 (acompaña a la x) y el intercepto es 3 (el número solo). El intercepto es siempre f(0). - Aplicar proporcionalidad a una afín: con cargo fijo, el doble de minutos NO cuesta el doble. Evalúa la función, no uses regla de tres. - Signo de la pendiente al leer gráficas: si la recta baja de izquierda a derecha, m es negativa.
Se ejercita en: Guía A (Eje 2, función lineal vs afín, imagen y preimagen), Guía I (máquina de la función, plan de celular), Ensayo B (Eje Álgebra, incluye la trampa preimagen/imagen).
Documento anterior: 01-numeros.md (operatoria con enteros y potencias que el álgebra usa a cada paso). Siguiente: 03-geometria.md.