Pauta — abrir solo después de terminar. La corrección se hace el mismo día.
PAUTA — BANCO DE
EJERCITACIÓN EJE DATOS Y AZAR
Preparación Admisión 2027 · Colegio Champagnat · Primero
Medio
Desarrollo paso a paso de los 30 ejercicios de
T_Banco_Datos_Azar.md. Cada resultado incluye una
verificación por un camino distinto al del cálculo,
para corregir con seguridad. Al final hay una lista de “Errores trampa a
vigilar”.
Cómo usar esta pauta: se corrige después de
resolver, en la misma jornada. Si la respuesta coincide, se lee igual la
verificación (refuerza el método). Si no coincide, se lee el desarrollo
completo y se anota en una frase cuál fue el error.
NIVEL 1 — BASE
T1 — Mediana con 9 datos
Ordenar de menor a mayor: 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17, 20.
Son 9 datos (impar): la mediana es el dato central, el 5.°.
Contando desde la izquierda: 6 (1.°), 8 (2.°), 9 (3.°), 10 (4.°),
11 (5.°).
Respuesta: mediana = 11.
Verificación: a cada lado del 11 deben quedar 4
datos. Abajo: 6, 8, 9, 10 (cuatro). Arriba: 12, 15, 17, 20 (cuatro).
Cuadra. Además, la lista ordenada tiene los mismos 9 valores del
enunciado (ninguno se perdió al ordenar).
T2 — Cuartiles con 7 datos
(impar)
Ordenar: 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25.
Q2 (mediana): 7 datos, el central es el 4.° →
Q2 = 20.
Q1: mediana de la mitad inferior sin
incluir el 20: 15, 16, 18 → Q1 = 16.
Q3: mediana de la mitad superior: 22, 24, 25 →
Q3 = 24.
Respuesta: Q1 = 16, Q2 = 20, Q3 = 24.
Verificación: debe cumplirse Q1 < Q2 < Q3: 16
< 20 < 24 ✓. Cada mitad tiene 3 datos y la mediana quedó fuera de
ambas (3 + 1 + 3 = 7 datos) ✓.
Verificación: Q1 < Q2 < Q3: 38 < 45 < 52
✓. El RIC debe ser menor que el rango: rango = 60 − 30 = 30, y 14 <
30 ✓. Mitades de 5 datos cada una, mediana fuera: 5 + 1 + 5 = 11 ✓.
T4 — Mediana con cantidad par
Ordenar: 0, 1, 2, 2, 3, 4.
Son 6 datos (par): la mediana es el promedio de los dos
centrales (3.° y 4.°): 2 y 2.
Mediana = (2 + 2) / 2 = 2.
Respuesta: mediana = 2.
Verificación: a cada lado de los dos valores
centrales quedan 2 datos: {0, 1} abajo y {3, 4} arriba ✓. Como los dos
centrales son iguales, la mediana coincide con ellos, lo que es
coherente.
T5 — Principio
multiplicativo (2 etapas)
Etapas unidas por “y”: sabor y cono.
Total = 5 × 2 = 10 helados distintos.
Verificación por conteo exhaustivo: con sabores
S1…S5 y conos C1, C2: S1C1, S1C2, S2C1, S2C2, S3C1, S3C2, S4C1, S4C2,
S5C1, S5C2 → 10 combinaciones, ninguna repetida ✓.
T6 — Principio
multiplicativo (2 etapas)
Etapas: color (4 opciones) y número (5
opciones).
Total = 4 × 5 = 20 fichas distintas.
Verificación: cada color aparece con los números 1
al 5 → 5 fichas por color × 4 colores = 20 ✓ (mismo resultado agrupando
al revés: cada número con 4 colores → 4 × 5 = 20).
T7 — Laplace: múltiplo de 3
en un dado
Casos posibles: 6 (números 1 al 6).
Casos favorables: múltiplos de 3 entre 1 y 6 → {3, 6} → 2
casos.
P = 2/6 = 1/3.
Verificación por complemento: los NO múltiplos de 3
son {1, 2, 4, 5} → 4 casos → P = 4/6 = 2/3. Y 1/3 + 2/3 = 1 ✓. Además 0
≤ 1/3 ≤ 1 ✓.
Verificación: Q1 < Q2 < Q3: 46,5 < 53 <
60 ✓. RIC < rango: rango = 66 − 40 = 26 y 13,5 < 26 ✓. Bajo Q1
quedan 2 datos (40, 45) y sobre Q3 quedan 2 (62, 66): un cuarto de los 8
datos en cada extremo ✓.
T10 — RIC con 10 datos
(alternativas)
Clave: B) 10.
Los datos ya están ordenados: 12, 15, 18, 20, 21, 23, 25, 28, 30,
34.
Distractores: - A) 22 = el rango
(34 − 12), no el RIC. Error típico: confundir las dos medidas. - C) 6 =
Q3 − mediana (28 − 22): resta el tramo equivocado. - D) 4 = mediana − Q1
(22 − 18): ídem, medio tramo de la caja.
T11 —
Interpretación de percentil (alternativas)
Clave: C) Aproximadamente el 60% de los
participantes obtuvo un puntaje menor o igual que el de Tomás.
Percentil k = valor que deja en o bajo él al k% de los datos.
Percentil 60 → el 60% quedó con puntaje menor o igual → Tomás superó
o igualó al 60%.
Verificación (lectura complementaria): si el 60%
quedó en o bajo su puntaje, el 40% lo superó — coherente con estar
“sobre la mitad, pero no en la cima”. La suma 60% + 40% = 100% ✓.
Distractores: - A) Confunde percentil con
puntaje (60 puntos). - B) Confunde percentil con
porcentaje de logro (partidas ganadas). - D)
Invierte la lectura: el 60% está por debajo o igual, no
por encima.
T12 — Percentiles y cuartiles
P25 = Q1 y P75 = Q3 (P50 sería Q2,
la mediana).
RIC = Q3 − Q1 = 58 − 32 = 26 puntos.
Entre Q1 y Q3 queda el 50% central → 50% de los
estudiantes.
Verificación: bajo P25 hay 25% y sobre P75 hay 25%;
25% + 50% + 25% = 100% ✓. El RIC (26) es positivo porque P75 > P25
✓.
T13 — Percentil 85
con cantidad de estudiantes
Percentil 85 → Sofía superó o igualó al 85% de los
estudiantes.
Sobre ella queda el resto: 100% − 85% = 15% obtuvo
más puntaje.
85% de 200 = 0,85 × 200 = 170 estudiantes
(aproximadamente) con puntaje menor o igual al de ella.
Verificación de c): 85% de 200 se puede calcular por
partes: 10% de 200 = 20 → 80% = 160; 5% = 10; 160 + 10 = 170 ✓. Control
de coherencia: los otros 200 − 170 = 30 estudiantes son el 15% (15% de
200 = 30 ✓), que coincide con b).
Entre Q1 y Q3 (la caja) vive el 50% central → 50%
del curso.
Desde Q3 hacia arriba queda el 25% → 25% hace 6
horas o más.
No. Cada tramo del cajón contiene el 25% de los
datos, siempre. El tramo Q3→máx (largo 4) tiene la MISMA cantidad de
estudiantes que el tramo Q1→Q2 (largo 2); lo que cambia es la
dispersión: ese 25% superior tiene sus horas más
repartidas (entre 6 y 10), no más estudiantes.
Verificación: los cuatro tramos suman 25% × 4 = 100%
✓. RIC < rango: rango = 10 − 1 = 9 y 3 < 9 ✓.
Cinco números: 4 · 9 · 14 · 20 · 26. En el dibujo:
caja de 9 a 20 con la línea de la mediana en 14; bigote izquierdo de 4 a
9 y bigote derecho de 20 a 26, sobre una recta graduada (por ejemplo de
0 a 30 de 2 en 2).
RIC = 20 − 9 = 11. Rango = 26 − 4 =
22.
Verificación: Q1 < Q2 < Q3: 9 < 14 < 20
✓. RIC < rango: 11 < 22 ✓. Mitades de 5 datos con la mediana
fuera: 5 + 1 + 5 = 11 ✓. En el dibujo, la caja (9 a 20) debe quedar
DENTRO del tramo de los bigotes (4 a 26) ✓.
T16 — RIC desde los 5
números (alternativas)
Clave: D) 14.
RIC = Q3 − Q1 = 36 − 22 = 14.
Verificación: RIC < rango: rango = 50 − 15 = 35 y
14 < 35 ✓. Además Q1 = 22 < mediana = 30 < Q3 = 36, así que la
resta es positiva ✓.
Distractores: - A) 35 = el rango
(50 − 15): la confusión clásica rango vs. RIC. - B) 8 = mediana − Q1 (30
− 22): solo la mitad izquierda de la caja. - C) 20 = máximo − mediana
(50 − 30): mezcla bigote y media caja.
T17 —
Multiplicativo con restricción (alternativas)
Clave: A) 20.
Primera cifra: 5 opciones (1 a 5).
Segunda cifra: como no puede repetir la primera, quedan 4
opciones.
Total = 5 × 4 = 20 números.
Verificación por conteo exhaustivo: con primera
cifra 1: 12, 13, 14, 15 (4 números). Lo mismo con primera cifra 2, 3, 4
y 5: 4 números cada una → 5 × 4 = 20 ✓ (y ninguno tiene cifras
repetidas).
Distractores: - B) 25 = 5 × 5: olvida la restricción
“sin repetir”. - C) 10 = 5 + 5: suma en vez de
multiplicar. - D) 9 = 5 + 4: suma las opciones de cada etapa.
T18 — Código de 3 dígitos
Cada dígito tiene 10 opciones (0 a 9): 10 × 10 × 10 = 1000
códigos.
Sin repetir: 10 opciones para el primero, 9 para el segundo, 8 para
el tercero: 10 × 9 × 8 = 720 códigos.
Verificación de a): los códigos van del 000 al 999;
contarlos da exactamente 1000 ✓. Verificación de b):
720 debe ser menor que 1000 (la restricción quita opciones) ✓; los
códigos eliminados son los que repiten algún dígito, 1000 − 720 = 280
> 0 ✓.
T19 — Laplace con
baraja española (alternativas)
Clave: C) 1/10.
Casos posibles: 40 cartas.
Casos favorables: el enunciado indica un rey por pinta y hay 4
pintas → 4 reyes.
P(rey) = 4/40 = 1/10.
Verificación por otra vía: en cada pinta de 10
cartas hay exactamente 1 rey → la fracción de reyes dentro de cualquier
pinta es 1/10, y como todas las pintas son iguales, en la baraja
completa también es 1/10 ✓. Control: 0 ≤ 1/10 ≤ 1 ✓.
Distractores: - A) 1/4 = probabilidad de una
pinta (10/40), no de un valor. - B) 1/40 = cuenta
un solo rey en vez de 4. - D) 3/10 = probabilidad de
una figura (12/40): sota, caballo o rey.
T20 — Laplace
con bolitas, evento “NO” (alternativas)
Verificación por complemento: P(roja) = 5/15 = 1/3,
y P(no roja) = 1 − 1/3 = 2/3 ✓. Las dos vías (contar directamente y
complemento) coinciden.
Distractores: - B) 1/3 = P(roja): calcula el evento
contrario al pedido. - C) 2/5 = P(negra) (6/15): responde otro evento. -
D) 4/15 = P(blanca): olvida sumar las negras.
T21 — Dos dados: espacio
muestral y sumas
Cada dado tiene 6 resultados → 6 × 6 = 36
resultados (pares ordenados: el rojo y el azul se
distinguen).
Suma 7: los pares favorables son (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),
(6,1) → 6 casos. P = 6/36 = 1/6.
Suma 12: solo (6,6) → 1 caso. P = 1/36.
Verificación de b) por conteo exhaustivo: para cada
valor del dado rojo (1 a 6) existe exactamente UN valor del azul que
completa 7 (6, 5, 4, 3, 2, 1) → 6 pares, ni más ni menos ✓.
Verificación de c): con suma 12 ambos dados deben ser
6; cualquier otro par suma menos ✓. Control general: 1/36 < 1/6, y la
suma 7 es la más frecuente de las sumas, lo que cuadra con que 12 sea
mucho menos probable ✓.
T22 — “Al menos 5” en un
dado (alternativas)
Clave: D) 1/3.
“Al menos 5” significa 5 o más: el borde SÍ se
incluye.
Favorables: {5, 6} → 2 casos.
P = 2/6 = 1/3.
Verificación por complemento: “menos de 5” = {1, 2,
3, 4} → 4/6 = 2/3, y 1/3 + 2/3 = 1 ✓.
Distractores: - A) 1/6 = cuenta solo el {6}: lee “al
menos 5” como si excluyera el 5 (lo trata como “más de 5”). - B) 1/2 =
cuenta {4, 5, 6}: corre el borde un lugar e incluye el 4. - C) 2/3 = la
probabilidad del complemento ({1, 2, 3, 4}): responde
el evento contrario.
NIVEL 3 — DESAFÍO
T23 — Comparación de
dos cajones (desarrollo)
Mediana Norte = 6 y mediana Sur = 6: iguales. El
tiempo de atención “típico” (el del medio) es el mismo en ambas
sucursales.
RIC Norte = 8 − 4 = 4; RIC Sur = 7 − 5 =
2. El 50% central está más concentrado en la
Sur (caja más corta).
Rango Norte = 10 − 2 = 8; rango Sur = 15 − 1 =
14. Las atenciones extremas más alejadas están en la
Sur.
Conclusión modelo: “Ambas sucursales atienden en un tiempo típico de
6 minutos, pero la Sur es más pareja en su grupo central (RIC 2 contra
4) aunque tiene casos extremos más alejados (rango 14 contra 8): la
mayoría de sus atenciones son muy similares, con algunas
excepcionalmente cortas o largas.”
Verificación: en cada sucursal se cumple mín < Q1
< Q2 < Q3 < máx (Norte: 2<4<6<8<10 ✓; Sur:
1<5<6<7<15 ✓) y RIC < rango (Norte: 4 < 8 ✓; Sur: 2
< 14 ✓). Nota: RIC y rango pueden “contradecirse” entre sucursales
(Sur tiene menor RIC pero mayor rango) porque miden cosas distintas — el
centro y los extremos. Eso no es un error: es justamente la
conclusión.
T24 — Comparación
de dos cajones (alternativas)
Clave: B) El 50% central del curso Y está más
concentrado que el del curso X.
RIC X = 6,0 − 4,0 = 2,0; RIC Y = 5,5 − 4,5 = 1,0.
La caja de Y es más corta → su 50% central está más concentrado.
B es verdadera.
Verificación de cada alternativa (descarte
completo): - A) Falsa: ambas medianas son 5,0 — ninguna es
mayor. - B) Verdadera: RIC Y = 1,0 < RIC X = 2,0 ✓ (comprobado con
las dos restas). - C) Falsa: entre Q1 y Q3 siempre hay un 50% de los
datos; como ambos cursos tienen 30 estudiantes, en ambos son unos 15. La
caja de X es más LARGA, pero no tiene más estudiantes — es la trampa
“tramo largo = más datos”. - D) Falsa: máximo de Y = 6,0 < máximo de
X = 7,0.
T25 — “Al menos un 6” con dos
dados
Espacio muestral: 6 × 6 = 36.
Complemento: “ningún 6” → cada dado tiene 5 resultados sin 6 → 5 × 5
= 25 casos. P(ningún 6) = 25/36.
P(al menos un 6) = 1 − 25/36 = 11/36.
Verificación por conteo directo: pares con al menos
un 6: los que tienen 6 en el primer dado son 6 — (6,1)…(6,6) —, los que
tienen 6 en el segundo son 6 — (1,6)…(6,6) —, y el par (6,6) quedó
contado dos veces: 6 + 6 − 1 = 11 ✓. Las dos vías dan 11/36. Control:
25/36 + 11/36 = 36/36 = 1 ✓.
Complemento: “ningún sello” = todas caras = solo CCC → 1/8. P(al
menos un sello) = 1 − 1/8 = 7/8.
Verificación por conteo directo: de la lista de 8
resultados, los que tienen al menos una S son todos menos CCC → 7 casos
→ 7/8 ✓. La lista tiene exactamente 8 elementos, igual que 2³ ✓.
T27 — Clave de dos dígitos
iguales
10 opciones para cada dígito → 10 × 10 = 100 claves
(del 00 al 99).
Verificación por otra vía: cualquiera sea el primer
dígito, el segundo debe ser exactamente ese mismo: 1 opción favorable de
10 posibles → 1/10 ✓. Las dos vías (contar las 10 claves y razonar por
etapas) coinciden. Control: 0 ≤ 1/10 ≤ 1 ✓.
Verificación por etapas independientes: P(sopa) =
1/2 y P(pescado) = 1/5; como cada parte se elige por separado, P(sopa y
pescado) = 1/2 × 1/5 = 1/10 ✓ — coincide con el conteo 3/30. Control: 3
favorables < 30 posibles ✓.
T29 — Ruleta y dado
4 colores × 6 números = 24 resultados.
Favorables: rojo (1 opción) con número par (3 opciones: 2, 4, 6) = 1
× 3 = 3. P = 3/24 = 1/8.
Verificación por etapas: P(rojo) = 1/4 y P(par) =
3/6 = 1/2 → 1/4 × 1/2 = 1/8 ✓, igual que el conteo. Conteo exhaustivo de
favorables: (rojo, 2), (rojo, 4), (rojo, 6) → 3 ✓.
T30 — Cajón y probabilidad
combinados
Cinco números: 3,5 · 4,5 · 5,5 · 6,0 · 7,0. Curso de 32
estudiantes.
Q3 = 6,0 deja bajo (o en) él al 75% → de 6,0 hacia arriba queda el
25%. P(nota ≥ 6,0) ≈ 25% = 1/4.
25% de 32 = 32/4 = 8 estudiantes
aproximadamente.
Entre Q1 = 4,5 y Q3 = 6,0 está el 50% central → P ≈ 50% =
1/2, que corresponde a 32/2 = 16
estudiantes aproximadamente.
Verificación: los cuartiles parten a los 32
estudiantes en 4 grupos de 32/4 = 8: bajo Q1 hay ≈8, en la caja hay ≈8 +
8 = 16 (coincide con c) ✓ y sobre Q3 hay ≈8 (coincide con b) ✓. Suma
total: 8 + 16 + 8 = 32 ✓. Se dice “aproximadamente” porque los
percentiles reparten los datos de forma aproximada cuando hay
empates.
ERRORES TRAMPA A
VIGILAR (eje Datos y Azar)
Calcular cuartiles sin ordenar primero. Es el error
número uno del eje. Los cuartiles son posiciones dentro de la lista
ORDENADA (T1, T2, T3, T9, T15).
Incluir la mediana en las mitades cuando la cantidad es
impar. Con 11 datos, cada mitad tiene 5 y el 6.° queda fuera
(T3, T15). Con cantidad par, la mediana es el promedio de los dos del
medio y las mitades se reparten todo (T4, T9, T10).
Confundir rango con RIC. Rango = máximo − mínimo
(todo el diagrama); RIC = Q3 − Q1 (solo la caja). El distractor “rango”
aparece en T10 y T16. Control rápido: el RIC siempre es menor que el
rango.
Creer que el tramo más largo del cajón tiene más
datos. Cada tramo tiene el 25% SIEMPRE; el largo mide
dispersión, no cantidad (T14d, T24C).
Leer mal el percentil. Percentil 60 no es “60
puntos” ni “60% de logro”: es posición relativa — el 60% quedó en o bajo
ese valor (T11). Y la lectura no se invierte: ese 60% está POR DEBAJO o
igual, no por encima.
“Mayor que” vs. “al menos”. “Mayor que 6” excluye
el 6 (T8); “al menos 5” incluye el 5 (T22). Leer esa palabra con lupa:
es el distractor favorito de la prueba.
Sumar cuando hay que multiplicar. Las etapas unidas
por “y” se multiplican (5 sabores y 2 conos = 10, no 7). Se suma solo al
elegir una cosa U otra (T5, T17 distractores C y D).
Olvidar la restricción “sin repetir”. Cada etapa
con restricción tiene menos opciones que la anterior: 5 × 4, no 5 × 5
(T17, T18b).
Probabilidad fuera de [0, 1] o fracción invertida.
Favorables arriba, posibles abajo; si da más que 1, hay error seguro. Y
el complemento es el control gratis: P(A) + P(no A) = 1 (T20, T25,
T26).
Contar mal espacios muestrales con varios objetos.
Dos dados tienen 36 resultados (los pares (2,5) y (5,2) son distintos),
tres monedas tienen 8. Usar el principio multiplicativo ANTES de contar
favorables (T21, T25, T26).