Pauta — abrir solo después de terminar. La corrección se hace el mismo día.

PREPARACIÓN ADMISIÓN 2027 · COLEGIO CHAMPAGNAT · PRIMERO MEDIO

PAUTA DEL BANCO — EJE ÁLGEBRA Y FUNCIONES

Desarrollo paso a paso de R1 a R29 · Cada resultado está verificado por un camino independiente

Cómo usar esta pauta: se revisa el mismo día en que se hizo la tanda. En cada ejercicio fallado, leer el desarrollo COMPLETO y ubicar en qué paso se produjo el error (no basta con mirar la respuesta final). La sección “Verificación” muestra cómo comprobar un resultado por un camino distinto: esa costumbre es la que salva puntos en la prueba.

NIVEL 1 — BASE

R1. Reducir 6m + 2n − 4m + 5n

  1. Términos con m: 6m − 4m = 2m.
  2. Términos con n: 2n + 5n = 7n.
  3. Resultado: 2m + 7n (m y n no son semejantes: no se juntan más).

Verificación (evaluación numérica con m = 2, n = 3): original 6·2 + 2·3 − 4·2 + 5·3 = 12 + 6 − 8 + 15 = 25; resultado 2·2 + 7·3 = 4 + 21 = 25 ✓.

R2. Reducir 9p − 4 − 3p + 12 − p

  1. Términos con p (cada uno con su signo): 9p − 3p − p = 5p (recuerda: −p = −1p).
  2. Términos constantes: −4 + 12 = 8.
  3. Resultado: 5p + 8.

Verificación (con p = 2): original 18 − 4 − 6 + 12 − 2 = 18; resultado 5·2 + 8 = 18 ✓.

R3. Reducir 8x − (3x − 5) + 2

  1. El menos delante del paréntesis cambia TODOS los signos de adentro: −(3x − 5) = −3x + 5.
  2. Queda: 8x − 3x + 5 + 2.
  3. Con x: 8x − 3x = 5x. Constantes: 5 + 2 = 7.
  4. Resultado: 5x + 7.

Verificación (con x = 2): original 16 − (6 − 5) + 2 = 16 − 1 + 2 = 17; resultado 5·2 + 7 = 17 ✓.

R4. Evaluar 2a² + 5a − 1 con a = −3

  1. Sustituir entre paréntesis: 2(−3)² + 5(−3) − 1.
  2. Potencia primero: (−3)² = 9, entonces 2 · 9 = 18.
  3. 5 · (−3) = −15.
  4. Total: 18 − 15 − 1 = 2.

Verificación (camino independiente, agrupando distinto): 2a² + 5a − 1 = a(2a + 5) − 1 = (−3)(2·(−3) + 5) − 1 = (−3)(−6 + 5) − 1 = (−3)(−1) − 1 = 3 − 1 = 2 ✓.

R5. Evaluar 3x − 2y + xy con x = 4, y = −2

  1. 3 · 4 = 12.
  2. −2 · (−2) = +4 (menos por menos, más).
  3. xy = 4 · (−2) = −8.
  4. Total: 12 + 4 − 8 = 8.

Verificación (agrupando distinto): 3x − 2y + xy = x(3 + y) − 2y = 4(3 + (−2)) − 2(−2) = 4 · 1 + 4 = 8 ✓.

R6. Resolver 7x − 4 = 24

  1. Sumar 4 a ambos lados: 7x = 28.
  2. Dividir por 7: x = 4.

Verificación (sustituir en la ecuación original): 7 · 4 − 4 = 28 − 4 = 24 ✓.

R7. Resolver 9x − 5 = 4x + 30

  1. Restar 4x en ambos lados: 5x − 5 = 30.
  2. Sumar 5: 5x = 35.
  3. Dividir por 5: x = 7.

Verificación (ambos lados de la original): izquierdo 9 · 7 − 5 = 63 − 5 = 58; derecho 4 · 7 + 30 = 28 + 30 = 58 ✓.

R8. Resolver 3(x − 4) = 15

  1. Desarrollar: 3x − 12 = 15.
  2. Sumar 12: 3x = 27.
  3. Dividir por 3: x = 9.

Verificación (en la original, sin desarrollar): 3(9 − 4) = 3 · 5 = 15 ✓. (Camino alternativo que llega a lo mismo: dividir ambos lados por 3 de entrada → x − 4 = 5 → x = 9.)

NIVEL 2 — TIPO PRUEBA

R9. Desarrollar −3x(2x − 5)

  1. −3x · 2x = −6x² (coeficientes: −3 · 2 = −6; letras: x · x = x²).
  2. −3x · (−5) = +15x (menos por menos, más).
  3. Resultado: −6x² + 15x.

Verificación (evaluación en ambos lados con x = 2): original −3·2 · (2·2 − 5) = −6 · (−1) = 6; resultado −6·4 + 15·2 = −24 + 30 = 6 ✓.

R10. ★ (x + 5)(x − 2) — Clave: B

Los 4 productos (todos con todos):

  1. Primeros: x · x = x².
  2. Exteriores: x · (−2) = −2x.
  3. Interiores: 5 · x = 5x.
  4. Últimos: 5 · (−2) = −10.
  5. Juntar y reducir: x² − 2x + 5x − 10 = x² + 3x − 10 → alternativa B.

Verificación (evaluación en ambos lados con x = 1): original (1 + 5)(1 − 2) = 6 · (−1) = −6; resultado 1 + 3 − 10 = −6 ✓. Segunda evaluación con x = 2: (7)(0) = 0; 4 + 6 − 10 = 0 ✓.

Distractores (única clave: B): - A) x² − 10: hizo solo Primeros y Últimos, olvidó los términos cruzados. - C) x² − 3x − 10: error de signo al reducir los cruzados (−2x + 5x = +3x, no −3x). - D) x² + 3x + 10: error de signo en Últimos (5 · (−2) = −10, no +10).

R11. Desarrollar (x − 6)(x + 2)

  1. Primeros: x · x = x².
  2. Exteriores: x · 2 = 2x.
  3. Interiores: −6 · x = −6x (el −6 viaja con su signo).
  4. Últimos: −6 · 2 = −12.
  5. Reducir: x² + 2x − 6x − 12 = x² − 4x − 12.

Verificación (con x = 1): original (1 − 6)(1 + 2) = (−5)(3) = −15; resultado 1 − 4 − 12 = −15 ✓.

R12. ★ Desarrollar (a + b)(a − 5)

Mismo método aunque haya dos letras: cada término del primero multiplica a cada término del segundo.

  1. a · a = a².
  2. a · (−5) = −5a.
  3. b · a = ab.
  4. b · (−5) = −5b.
  5. Resultado: a² − 5a + ab − 5b. No hay términos semejantes (a², a, ab y b son “frutas distintas”): se queda con 4 términos.

Verificación (con a = 2, b = 3): original (2 + 3)(2 − 5) = 5 · (−3) = −15; resultado 4 − 10 + 6 − 15 = −15 ✓.

R13. ★ Desarrollar (x + 2y)(x − 3)

  1. x · x = x².
  2. x · (−3) = −3x.
  3. 2y · x = 2xy.
  4. 2y · (−3) = −6y.
  5. Resultado: x² − 3x + 2xy − 6y (4 términos, ninguno semejante con otro).

Verificación (con x = 2, y = 1): original (2 + 2)(2 − 3) = 4 · (−1) = −4; resultado 4 − 6 + 4 − 6 = −4 ✓.

R14. ★ (3x + 1)(x − 2) — Clave: A

  1. Primeros: 3x · x = 3x².
  2. Exteriores: 3x · (−2) = −6x.
  3. Interiores: 1 · x = x.
  4. Últimos: 1 · (−2) = −2.
  5. Reducir: 3x² − 6x + x − 2 = 3x² − 5x − 2 → alternativa A.

Verificación (con x = 1): original (3 + 1)(1 − 2) = 4 · (−1) = −4; resultado 3 − 5 − 2 = −4 ✓. Con x = 3: (10)(1) = 10; 27 − 15 − 2 = 10 ✓.

Distractores (única clave: A): - B) 3x² + 5x − 2: error de signo al reducir (−6x + x = −5x, no +5x). - C) 3x² − 6x − 2: olvidó el producto interior 1 · x. - D) 3x² − 5x + 2: error de signo en Últimos (1 · (−2) = −2).

R15. ★ (2x + 3)(2x − 1) — Clave: C

  1. Primeros: 2x · 2x = 4x² (¡coeficientes se multiplican: 2 · 2 = 4!).
  2. Exteriores: 2x · (−1) = −2x.
  3. Interiores: 3 · 2x = 6x.
  4. Últimos: 3 · (−1) = −3.
  5. Reducir: 4x² − 2x + 6x − 3 = 4x² + 4x − 3 → alternativa C.

Verificación (con x = 1): original (2 + 3)(2 − 1) = 5 · 1 = 5; resultado 4 + 4 − 3 = 5 ✓. Con x = 2: (7)(3) = 21; 16 + 8 − 3 = 21 ✓.

Distractores (única clave: C): - A) 4x² − 3: hizo solo Primeros y Últimos. - B) 2x² + 4x − 3: multiplicó mal los primeros (2x · 2x = 4x², no 2x²). - D) 4x² − 4x − 3: error de signo al reducir los cruzados (−2x + 6x = +4x).

R16. ★ x/5 − 2 = 3 — Clave: D

  1. Sumar 2 a ambos lados: x/5 = 5.
  2. Multiplicar ambos lados por 5: x = 25 → alternativa D.

Verificación (en la original): 25/5 − 2 = 5 − 2 = 3 ✓.

Distractores (única clave: D): - A) x = 5: se quedó en x/5 = 5 y olvidó multiplicar por 5. - B) x = 15: ignoró el −2 y resolvió x/5 = 3. - C) x = 10: multiplicó 5 · 2 en vez de despejar.

R17. Resolver x/2 + x/5 = 14

  1. Denominadores 2 y 5; múltiplo común 10. Multiplicar TODA la ecuación por 10: 10 · (x/2) + 10 · (x/5) = 10 · 14 → 5x + 2x = 140.
  2. Reducir: 7x = 140.
  3. Dividir por 7: x = 20.

Verificación (en la original): 20/2 + 20/5 = 10 + 4 = 14 ✓.

R18. Resolver 0,5x + 3 = 8

  1. Restar 3: 0,5x = 5.
  2. Dividir por 0,5 (que es lo mismo que multiplicar por 2): x = 10.

Verificación (camino independiente: convertir a enteros primero): multiplicar toda la ecuación por 10 → 5x + 30 = 80 → 5x = 50 → x = 10, mismo resultado. Y en la original: 0,5 · 10 + 3 = 5 + 3 = 8 ✓.

R19. ★ f(x) = 2x − 7

a) Imagen de −3 = f(−3): reemplazar y calcular.

  1. f(−3) = 2 · (−3) − 7 = −6 − 7 = −13.

b) Preimagen de 5: resolver f(x) = 5.

  1. 2x − 7 = 5.
  2. Sumar 7: 2x = 12.
  3. Dividir por 2: x = 6.

Verificación: - a) por el camino inverso: si la imagen de −3 es −13, la preimagen de −13 debe ser −3 → 2x − 7 = −13 → 2x = −6 → x = −3 ✓. - b) evaluando (camino inverso de la preimagen): f(6) = 12 − 7 = 5 ✓.

R20. ★ g(x) = 4x + 6, preimagen de 26 — Clave: C

“Preimagen de 26” = el 26 SALIÓ de la máquina → resolver g(x) = 26, no calcular g(26).

  1. 4x + 6 = 26.
  2. Restar 6: 4x = 20.
  3. Dividir por 4: x = 5 → alternativa C.

Verificación (camino inverso: evaluar): g(5) = 4 · 5 + 6 = 26 ✓.

Distractores (única clave: C): - A) 110: calculó g(26) = 110, es decir la IMAGEN de 26 — la trampa clásica. - B) 6,5: dividió 26/4 olvidando restar primero el 6. - D) 8: sumó el 6 en vez de restarlo ((26 + 6)/4).

R21. ★ Recta por (0, 4) y (1, 2)

  1. a) Pendiente: de x = 0 a x = 1, la salida cambia de 4 a 2: baja 2 → m = −2 (la recta baja, pendiente negativa).
  2. b) El punto (0, 4) es el corte con el eje Y → n = 4. Función: f(x) = −2x + 4.
  3. c) Es afín, porque n = 4 ≠ 0: la recta NO pasa por el origen.
  4. d) f(3) = −2 · 3 + 4 = −6 + 4 = −2.

Verificación (la función debe reproducir los DOS puntos dados): f(0) = 0 + 4 = 4 ✓ y f(1) = −2 + 4 = 2 ✓. Para d), camino inverso: si f(3) = −2, la preimagen de −2 debe ser 3 → −2x + 4 = −2 → −2x = −6 → x = 3 ✓.

R22. ★ Estacionamiento a $600 por hora

  1. a) Valor por unidad m = 600; NO hay cargo fijo → n = 0. Función: C(h) = 600h.
  2. b) Es lineal: como n = 0, la gráfica pasa por el origen (0 horas = $0). El costo es proporcional a las horas.
  3. c) C(5) = 600 · 5 = $3.000.
  4. d) Preimagen de 4.200: 600h = 4.200 → h = 4.200/600 = 7 horas.

Verificación: d) por el camino inverso: C(7) = 600 · 7 = 4.200 ✓. c) por proporcionalidad (válida porque es lineal): 1 hora $600 → 5 horas 5 · 600 = 3.000 ✓.

NIVEL 3 — DESAFÍO

R23. (x + 3)(x − 2) = x² + 4x − 18

  1. Desarrollar el lado izquierdo: x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6.
  2. La ecuación queda: x² + x − 6 = x² + 4x − 18.
  3. Restar x² en ambos lados (¡desaparece la potencia!): x − 6 = 4x − 18.
  4. Restar x: −6 = 3x − 18.
  5. Sumar 18: 12 = 3x → x = 4.

Verificación (sustituir en la ecuación ORIGINAL, no en la desarrollada): izquierdo (4 + 3)(4 − 2) = 7 · 2 = 14; derecho 4² + 4·4 − 18 = 16 + 16 − 18 = 14 ✓.

R24. Scooters: dos tarifas

  1. a) Empresa A: fijo 500, por minuto 200 → A(x) = 200x + 500 (afín). Empresa B: sin fijo → B(x) = 300x (lineal).
  2. b) Viaje de 10 minutos: A(10) = 2.000 + 500 = $2.500; B(10) = $3.000.
  3. c) Igualar: 200x + 500 = 300x → 500 = 100x → x = 5 minutos.
  4. d) Viaje de 3 minutos: A(3) = 600 + 500 = $1.100; B(3) = $900 → conviene B.

Verificación: c) evaluando ambas funciones en x = 5: A(5) = 1.000 + 500 = 1.500 y B(5) = 1.500 ✓ (cuestan lo mismo). Coherencia de b) y d): antes de los 5 minutos conviene B (sin cargo fijo) y después conviene A (minuto más barato); b) con 10 > 5 gana A ($2.500 < $3.000) ✓ y d) con 3 < 5 gana B ✓.

R25. f(x) = 4x + 3, preimagen de 13

  1. Resolver 4x + 3 = 13.
  2. Restar 3: 4x = 10.
  3. Dividir por 4: x = 10/4 = 5/2 (= 2,5). La preimagen no tiene por qué ser un número entero.

Verificación (camino inverso: evaluar): f(5/2) = 4 · 5/2 + 3 = 20/2 + 3 = 10 + 3 = 13 ✓.

R26. (2x + y)(x − 4) + 8x

  1. Desarrollar el producto (4 productos): 2x · x = 2x²; 2x · (−4) = −8x; y · x = xy; y · (−4) = −4y.
  2. Queda: 2x² − 8x + xy − 4y + 8x.
  3. Reducir semejantes: −8x + 8x = 0 (¡se cancelan!).
  4. Resultado: 2x² + xy − 4y.

Verificación (evaluación en ambos lados con x = 1, y = 2): original (2 + 2)(1 − 4) + 8 = 4 · (−3) + 8 = −12 + 8 = −4; resultado 2 + 2 − 8 = −4 ✓. Segunda evaluación con x = 2, y = 1: (5)(−2) + 16 = 6; resultado 8 + 2 − 4 = 6 ✓.

R27. Afín por (0, −3) y (2, 7), calcular f(4) — Clave: B

  1. El punto (0, −3) da el corte con el eje Y: n = −3.
  2. Pendiente: de x = 0 a x = 2 la salida sube de −3 a 7, es decir 10 en 2 pasos → m = 10/2 = 5.
  3. Función: f(x) = 5x − 3.
  4. f(4) = 5 · 4 − 3 = 20 − 3 = 17 → alternativa B.

Verificación (la función debe reproducir los puntos dados): f(0) = −3 ✓ y f(2) = 10 − 3 = 7 ✓. Además, coherencia con la pendiente: de x = 2 a x = 4 hay 2 pasos, la salida debe subir 2 · 5 = 10: de 7 a 17 ✓.

Distractores (única clave: B): - A) 7: entregó f(2), el dato del enunciado, sin llegar a f(4). - C) 20: olvidó el coeficiente de posición (calculó solo 5 · 4). - D) 23: sumó el 3 en vez de restarlo (5 · 4 + 3).

R28. (x + 2)/3 = (x − 1)/2

  1. Denominadores 3 y 2; múltiplo común 6. Multiplicar TODA la ecuación por 6: 6 · (x + 2)/3 = 6 · (x − 1)/2 → 2(x + 2) = 3(x − 1).
  2. Desarrollar: 2x + 4 = 3x − 3.
  3. Restar 2x: 4 = x − 3.
  4. Sumar 3: x = 7.

Verificación (en la original): izquierdo (7 + 2)/3 = 9/3 = 3; derecho (7 − 1)/2 = 6/2 = 3 ✓.

R29. “El doble de un número, aumentado en 9, es igual al triple del mismo número, disminuido en 5”

  1. Traducir por partes: “el doble de un número, aumentado en 9” → la coma indica que primero se duplica y luego se suma: 2x + 9. “El triple del mismo número, disminuido en 5” → misma lógica de la coma: primero se triplica y luego se resta: 3x − 5.
  2. Ecuación: 2x + 9 = 3x − 5.
  3. Restar 2x: 9 = x − 5.
  4. Sumar 5: x = 14.

Verificación (con el enunciado, no con la ecuación): el doble de 14 aumentado en 9 → 28 + 9 = 37; el triple de 14 disminuido en 5 → 42 − 5 = 37 ✓.

ERRORES TRAMPA A VIGILAR (eje Álgebra y Funciones)

Si un ejercicio salió mal, lo más probable es que el error sea uno de estos. Conviene releerlos ANTES de cada tanda:

  1. Binomios a medias: (x + a)(x + b) son SIEMPRE 4 productos antes de reducir. Hacer solo “primeros y últimos” (tipo x² − 10 en R10-A) es el distractor favorito de la prueba.
  2. Signos en los productos cruzados: cada término viaja con su signo. En (x − 6)(x + 2), el −6 multiplica como −6, no como 6.
  3. Con dos letras no hay reducción mágica: en (x + 2y)(x − 3), los 4 términos resultantes NO son semejantes entre sí; el resultado se queda con 4 términos. Juntar xy con x o con y es inventar semejanza.
  4. 2x · 2x = 4x², no 2x² ni 4x: al multiplicar, coeficiente con coeficiente y los exponentes de la letra se suman.
  5. Imagen vs. preimagen: si el número dado SALIÓ de la máquina (dice f(x) = 20 o “la preimagen de…”), se resuelve una ecuación. Calcular f(20) es caer en la trampa (R20-A).
  6. En x/5 − 2 = 3, despejar en orden: primero aislar x/5 (sumando 2), después multiplicar por 5. Saltarse un paso da los distractores de R16.
  7. Al eliminar denominadores, multiplicar TODA la ecuación: todos los términos de ambos lados, incluido el número solo. Multiplicar solo las fracciones rompe la balanza.
  8. Lineal ≠ afín: lineal solo si n = 0 (pasa por el origen). Con cargo fijo es afín, y NO se puede usar regla de tres (el doble de minutos no cuesta el doble).
  9. La coma en los enunciados verbales: “el doble de un número, aumentado en 9” es 2x + 9; “el doble de un número aumentado en 9” (sin coma) es 2(x + 9). Leer dos veces antes de traducir.
  10. Comprobar siempre en la ecuación ORIGINAL: sustituir la solución toma 20 segundos y detecta casi todos los errores anteriores. En productos de binomios igualados (R23), comprobar en la forma original, no en la desarrollada.